Morphologie martienne

La dernière sonde qui s’est posée sur la planète a découvert une inscription qui ne laisse aucun doute sur son origine. Des êtres intelligents peuplent, ou ont peuplé la planète !

5 x² - 50 x + 125 = 0

x = 5 x = 8

Il est clair que les Martiens connaissent les mathématiques, et pourtant, si vous essayez de vérifier les deux racines proposées pour cette équation, vous aurez une surprise. L’une des deux ne semble pas juste.

Toutefois, cette difficulté peut être mise à profit pour déterminer, en partie, la morphologie des Martiens. Des savants l’ont fait avec succès ! En analysant cette équation et ses deux racines, ils ont calculé le nombre de doigts des Martiens.

les Martiens ne font pas d’erreurs de calculs ;
ils ont développé leurs méthodes de calcul de la même manière que nous ;
l’écriture de leurs nombres montre qu’ils utilisent comme nous une numération de position.

La numération de position est le système qui consiste à écrire les chiffres à côté les uns des autres, leur position indiquant leur poids dans le nombre représenté : le chiffre le plus à droite est celui des unités ; le suivant est celui des dizaines, puis vient celui des centaines… Faisant les calculs de manière naturelle (pour nous), on voit que 5 vérifie bien l’équation, mais x remplacé par 8 nous donne 45 = 0… Puisque nous acceptons la première hypothèse, il va falloir renoncer à faire les calculs comme nous en avons l’habitude.

Que signifie 125 ? cent vingt cinq, i.e. 1 centaine, 2 dizaines et 5 unités. Ce qu’on peut encore écrire 1 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰ (c’est le principe de la numération de position). Bien sûr, nous calculons dans le système décimal, et les chiffres multiplient les puissances de la base 10.

Au fait, pourquoi avons-nous choisi la base 10 ? Tout simplement parce que nous avons dix doigts, c’est bien pratique pour compter ! Si donc la seconde hypothèse est vraie, les Martiens eux aussi ont dû choisir comme système de numération celui qui correspond à leur nombre de doigts ! Le problème devrait avoir une solution… Il ne nous reste qu’à découvrir en quelle base de numération 5 et 8 sont racines de cette équation.

Puisque le chiffre 8 existe chez les Martiens, ils ont au moins 9 doigts (nous, nous avons 10 chiffres 0,1,… 9, autant que de doigts). Maintenant, un petit souvenir : si on connait les deux racines d’une équation du second degré, on sait qu’elle s’écrit :

5 x² - 50 x + 125 = 0 peut se mettre sous cette forme ; il suffit de diviser les coefficients par 5. Pour le premier, pas de problème, le résultat de la division est 1. Pour le second, n’oublions pas que l’équation est écrite dans une base inconnue ! 50 dans toute base b (> 5), s’écrit 5 × b¹ (pour nous, b = 10, ce serait donc 5 × 10¹). Quel que soit b, 50 divisé par 5 = 5 × b¹ divisé par 5, donc b¹. Et b¹ s’écrit 10 en base b. Pour 125, nous ne pouvons rien dire… mais ce n’est pas génant, car nous avons obtenu :

Par identification avec la forme donnée plus haut, la somme des deux racines s’écrit donc 10 chez les Martiens : c’est tout simplement la base cherchée ! (1 × b¹ + 0 = b) ; mais chez nous, elle s’écrit 5 + 8 = 13 (en décimal). Par conséquent, la base martienne est 13. Ils ont 13 doigts. Comment sont-ils disposés, l’histoire ne le dit pas…

On peut maintenant vérifier leur inscription : ce qu’ils écrivent 50 en base 13 vaut 5 × 13¹ = 65 en décimal ; et 125 vaut 1 × 13 × 13 + 2 × 13 + 5 = 200. Donc l’équation s’écrit en décimal :