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Rappels mathématiques

Les puissances de dix

Leur emploi est universel en physique, pour des raisons de commodité.

Par exemple, l’unité de longueur est le mètre, qui correspond à une valeur commode pour nous, à notre échelle, mais qui se trouve totalement inadaptée pour décrire les noyaux atomiques, les longeurs d’onde de la lumière ou les distances dans l’univers.

On résoud ce problème de deux manières différentes :

• en définissant des unités dérivées, qui se déduisent de l’unité principale par un coefficient constant. Par exemple, le kilomètre vaut 1.000 mètres, l’angström utilisé autrefois valait 1 dix-milliardième de mètre ;
• en notant les valeurs à l’aide de coefficients multiplicateurs qui permettent de changer d’échelle ; une année-lumière vaut 10¹³ kilomètres.

Les unités dérivées se définissent à l’aide de puissances de 10 : le kilomètre vaut 10³ mètres ; l’angström vaut 10^-10 mètres ;

Par définition, la puissance n est le produit de n termes égaux ; c’est donc une abbréviation :

10² = 10 × 10

10³ = 10 × 10 × 10

10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10

etc.

Nous nous sommes limités à la puissance 4, mais on peut continuer aussi loin qu’on veut :

10ⁿ = 10 × 10 × ... 10     produit de n termes

Il est bien évident que l’on peut remplacer 10 par 2, ou 3, pour décrire les puissances respectives de ces nombres. De manière un peu plus abstraite, on peut donc remplacer 10 par une lettre, qui est censée représenter n’importe quelle valeur entière :

avec n ≥ 2, puisque nous sommes partis du carré, qui met en jeu deux termes.

Nous avons commencé avec des entiers. Mais on peut aussi calculer le carré d’un nombre décimal :

2,5² = 2,5 × 2,5 = 6,25

La formule ci-dessus est donc valable si a prend une valeur décimale quelconque.

Première formule

Il est envisageable de multiplier deux puissances. Qu’obtient-on ? Soit à calculer : 10ⁿ × 10^p

Par définition, 10ⁿ = 10 × 10 × ... 10     produit de n termes, et 10^p = 10 × 10 × ... 10     produit de p termes

Donc 10ⁿ × 10^p = 10 × 10 × ... 10 × 10 × 10 × ... 10     produit de n termes multiplié par produit de p termes

Il y a donc dans ce produit n + p termes.

Pour bien voir ceci, écrivons-le pour 10² × 10³ = (10 × 10) × (10 × 10 × 10) = produit de 5 termes = 10⁵ = 10^{2 + 3}

10ⁿ × 10^p = 10^{n + p}

Ceci peut être fait pour toute autre valeur décimale, et donc :

Remarquez que la formule transforme un produit de puissances en une puissance de somme.

Deuxième formule

On peut envisager de calculer une puissance d’une puissance : (10ⁿ)^p.

Par définition, 10ⁿ = 10 × 10 × ... 10     produit de n termes

Donc la puissance p de cette valeur est : (10 × 10 × ... 10)^p = (10 × 10 × ... 10) × (10 × 10 × ... 10)... (10 × 10 × ... 10)

Dans chaque paire de parenthèses, il y a n termes, et il y a p paires de parenthèses. Donc, il y a en tout n × p fois la valeur 10.

En revenant à la définition, ceci représente 10^{n × p}

On ne note pas le produit : 10^np

On vient donc de montrer (même si c’est de manière un peu informelle) que (10ⁿ)^p = 10^np

Ce que nous nous empressons de réécrire de manière générale :

Remarquez cette fois que la formule transforme une puissance de puissances en une puissance de produit.

Première conséquence

Pour qu’une puissance existe, naturellement, il faut qu’il y ait au moins deux termes ! Donc, a¹ n’est pas défini. Ceci est bien gênant, car une telle écriture peut très bien apparaître comme résultat d’un calcul. Que faire ?

Bien évidemment, si nous définissons a¹ par une expression quelconque, il y a peu de chances pourqu’elle satisfasse la formule 1. Aussi, c’est bien de la première formule qu’il faut partir pour tenter une définition.

Dans cette formule, prenons p = 1 : aⁿ × a¹ = a^{n + 1}. A gauche, aⁿ contient n termes, et à droite a^{n + 1} contient (n + 1) termes. Pour que l’égalité soit conservée, il faut donc que a¹ contienne exactement 1 terme, donc que :

Deuxième conséquence

Sur cette lancée, qu’en serait-il de 0 ? Autrement dit, pourrait-on définir, donner un sens à, a⁰ ?

Le même raisonnement que ci-dessus nous amène à partir de la formule 1, et à l’appliquer avec p = 0 :

aⁿ × a⁰ = a^{n + 0} = aⁿ.

A gauche, aⁿ contient n termes ; à droite, on retrouve les mêmes n termes. Donc, à gauche, la multiplication par a⁰ ne change pas la valeur. La seule possibilité est que :

Remarquez que la valeur 1 est la même, quelle que soit la valeur de a ! 1 = 2⁰ = 3⁰ = 4⁰...

Pour les deux définitions que nous venons de proposer, remarquez que 1 est l’élément neutre de la multiplication, et 0 celui de l’addition.

Troisième conséquence

Ayant défini initialement les puissances pour p ≥ 2, nous venons de prolonger cette définition pour p = 1 puis p = 0. Maintenant, tout entier positif ou nul peut être une puissance. Que dire des entiers négatifs ?

Pour l’instant, on ne peut pas les considérer. Mais là encore, on peut envisager de les voir apparaître. En effet, si n est le résultat d’un calcul, rien n’empêche d’obtenir une valeur négative pour n, et de trouver a^-3 par exemple. Une telle situation s’est produite dans le passé (lointain), et les mathématiciens en restaient là, sur une impossibilité de résoudre le problème. Mais là encore, nous allons trouver une méthode. Comme précédemment, pour que les calculs soient réguliers, il faut que la formule 1 soit valide avec la définition de la puissance négative. Donc :

aⁿ × a^-p = a^{n - p}.

A gauche, nous avons un produit de n termes, multiplié par la valeur à déterminer de a^-p. A doite, dans a^{n - p}, nous avons n - p termes, c’est-à-dire n termes, auquels on en a retranché p. Pour que ce soit égal à l’expression de gauche, il faut qu’il y ait le même nombre de termes, donc il faut que a^-p retranche p terme aux n de aⁿ...

Pour retrancher ces p termes, il suffit de diviser p fois par a, c’est-à-dire diviser par a^p. Et donc:

Exemple : on doit avoir a³ × a^-2 = a^{3 - 2}

(a × a × a) × (a^-2) = a^{3 - 2} = a¹ = a

Donc, a^-2 retranche 2 a à gauche. Pour cela, a^-2 divise deux fois par a, ce qu’on peut encore traduire par divise par a⁺².

a^-p divise par a^p, ou encore multiplie par 1 / a^-p

Maintenant, nous avons défini aⁿ pour toute valeur entière de n, positive, négative ou nulle, de telle manière que la formule 1 soit vérifiée :

On n’a pas noté l’opérateur de multiplication à gauche. Les symboles à droite signifient que la formule est valable pour tous les n, et pour tous les p, pris dans l’ensemble ℤ des entiers relatifs (c’est-à-dire positifs, négatifs, ou 0).

ℤ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Vérification de la formule 2

Maintenant que nous avons défini les puissances en-dessous de 2, il faut vérifier que la formule 2 (aⁿ)^p = a^np est toujours valide. Il faut passer en revue les valeurs de n et de p non considérées avant, donc 1, 0 et les valeurs négatives.

Prenons d’abord n = 1. La formule devient (a¹)^p = a^{1 p}. D’après la définition, a¹ = a, et 1 p = p. Donc a^p = a^p est évidemment vérifié. Les mathématiciens disent trivialement, terme qui signifie tellement évident qu’aucune démonstration n’est nécessaire.

Considérons maintenant n négatif, avec p positif. La tâche n’est guère plus importante : (a^-n)^p = a^{-n p}. Toujours en appliquant la définition, a^-n = 1 / aⁿ. Donc il faut vérifier que (1 / aⁿ)^p = a^{-n p}.

Examinons d’abord le terme de gauche. (1 / aⁿ)^p = (1 / a × a... × a)^p = (1 / a × a... × a) × (1 / a × a... × a)... × (1 / a × a... × a).

Dans chaque parenthèse, il y a n termes, et il y a p parenthèses. Donc ceci est égal à 1 / (a × a... × a) où la parenthèse contient n p termes. C’est donc par définition 1 / a^{n p}. Et enfin, par définition de la puissance négative, 1 / a^{n p} = a^{-n p}. cqfd

Ceci achève la démonstration pour les valeurs de n 1, 0 et négatives. Il est facile de faire le même genre de travail pour les valeurs de p, ce qui achèverait la démonstration, et que nous laissons au lecteur. La méthode est toujours la même : il faut revenir aux définitions.

Résumé des puissances

Identités remarquables

Carré d’une somme

L’identité s’écrit (a + b)² = a² + 2 a b + b²

Il est très facile de la démontrer algébriquement : (a + b)² = (a + b) (a + b)

Pour calculer le produit de ces deux facteurs, on additionne les produits de chaque couple de termes. Les couples de termes sont mis en lumière ci-dessous :

Le produit étant commutatif, ab = ba, et donc les deux termes se concentrent en 2 ab :

Mais on peut voir cette égalité sous une forme géométrique, peut-être plus parlante. Un carré (algébrique) est la mesure de la surface d’un carré. Ainsi, a² mesure la surface d’un carré de côté a. Plus généralement, la surface d’un rectangle de côtés a et b est le produit ab de ses côtés. La figure ci-dessous se décompose en quatre parties :

Tout d’abord, en bas à gauche, un petit carré de côté a. Sa surface, notée en rouge en son centre, vaut a². Ensuite, on trouve un second carré, plus grand, de côté b, et haut et à droite. Sa surface est donc b². La figure se complète par un rectangle en haut à gauche, qui s’appuie sur les deux carrés, et dont les côtés sont par conséquent a et b. Ce rectangle a une surface valant ab. Enfin, en bas et à droite, un autre rectangle qui s’appuie sur d’autres côtés des carrés, et dont les côtés sont également a et b. Sa surface vaut par conséquent aussi ab.

La figure complète est un carré, puisque chaque côté comporte deux longueurs, a et b. Et sa surface est la somme des surfaces de chaque composante, donc a² + b² + ab + ab. On ajoute les deux quantités égales, et on réarrange en : S = a² + 2 ab + b². Cette formule est donc une représentatin de la surface totale du grand carré.

Alternativement, on peut calculer directement sa surface. Puisque son côté vaut a + b, sa surface s’obtient en multipliant a + b par a + b, c’est-à-dire en prenant le carré de a + b, soit (a + b)². On le voit sur la figure ci-dessous :

Nous venons de trouver deux formules différentes, qui représentent toutes deux la même quantité : la surface du grand carré. Par conséquent, ces deux quantités sont égales, et l’on peut écrire : (a + b)² = a² + 2 ab + b²

Pourrait-on avoir une formule semblable avec des cubes ? Bien sûr ! Algébriquement, il suffit de reprendre la définition du cube, et d’effectuer :

(a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) (a² + 2 ab + b²)

où l’on a remplacé le produit des deux derniers termes par la formule équivalente qu’on vient de déterminer. Il nous reste seulement à effectuer ce produit. Comme plus haut, c’est la somme des produits de chaque couple de termes :

(a + b) (a² + 2 ab + b²) = a³ + 2 a²b + ab² + a²b + 2 ab² + b³

et en regroupant les termes égaux :

Y aurait-il aussi une interprétation géométrique ? Oui, là encore... Evidemment, à la place de surfaces, on aura des volumes. Repartons de la figure en surface précédente, et donnons-lui une épaisseur.

On construit ainsi une plaque d’épaisseur a, représentée ci-dessous :

Il est facile d’en évaluer les différents volumes : on note la longueur de chaque côté, et on multiplie. Le résultat est noté en bas à droite de la figure.

Construisons maintenant un autre volume, en donnant à la surface précédente une épaisseur b :

L’évaluation des volumes est tout aussi simple. La somme est notée en bas à droite.

Il ne reste qu’à empiler les deux volumes à peine construits :

Le volume total des deux parties est donc :

a³ + 2 a²b + ab² + a²b + 2 ab² + b³

Le plus en rouge sépare les deux expressions provenant des deux parties de la figure. Le résultat est :

a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

Par construction, on a bien un cube de côté a + b. Par conséquent son volume est (a + b)³. L’égalité de ces deux expressions du volume donne la formule annoncée.

Pourrait-on aller encore plus loin, et envisager une puissance 4 ? Bien sûr, il suffit, algébriquement, de multiplier le dernier résultat par a + b, pour passer de la puissance 3 à la puissance 4. Le calcul donne :

(a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4 ab³ + b⁴

On voit apparaître une forme facile à prévoir. Tous les termes de la somme totalisent les mêmes exposants : le premier a l’exposant 4 pour a, et 0 pour b ; le second a 3 pour a, 1 pour b ; le troisième 2 pour chacun ; le quatrième 1 pour a et 3 pour b ; et enfin le dernier 4 pour b. On peut prévoir que les puissances supérieures seront construites de la même manière. D’ailleurs, les constructions géométriques ci-dessus nous ont montré que pour la puissance 2, c’est une somme de surfaces. Toute surface est le produit de deux termes, donc il doit y avoir exactement deux termes, égaux (comme dans a²), ou différents (comme dans ab). Pour le cube, c’est une somme de volumes, donc trois termes...

Mais au-delà de 3, l’intuition géométrique ne peut pas être poursuivie... tout au moins avec des mathématiques élémentaires. Il existe des géométries dans des espaces ayant plus de trois dimensions, mais nous ne sommes pas capables de les visualiser dans notre espace à trois dimensions.

Mais un raisonnement sur la forme des expressions permet de calculer une puissance quelconque. Le problème est de déterminer les coefficients, et le triangle de Pascal permet de le faire. On écrit tout d’abord 1 sur la première ligne, puis 1, et 1 sur la seconde. La première ligne correspond à (a + b)⁰ qui vaut 1, la seconde à la puissance 1, qui s’écrit 1 a + 1 b. Ensuite, pour chaque ligne successive, on additionne les deux termes qui sont dans la ligne immédiatement au-dessus, dans la case au-dessus et celle qui est à sa gauche. Voici quelques lignes du triangle :

On peut continuer ainsi, après avoir vérifié que les expressions que nous avons obtenues plus haut sont bien en accord avec les coefficients obtenus ici.

Dans le volume que nous avons dessiné, la face supérieure représente le dessin des surfaces, et montre que (a + b)² = a² + 2 ab + b². Les volumes montrent de leur côté que (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³. Une figure à 4 dimensions (que l’on ne peut pas dessiner, mais qui est imaginable, et mathématiquement constructible) exhiberait ces deux identités sur des 'faces', et en plus l’identité (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4 ab³ + b⁴. On peut imaginer aussi la dimension 5, et ainsi de suite. Un hypervolume de dimension n, exhiberait ainsi toutes les identités remarquables jusqu’à la puissance n, comme décomposition de certaines faces, de dimension 2 pour la puissance 2, de dimension 3 pour la puissance 3...

Si on part de 10⁴, on obtient 10³ en divisant par 10 : 10³ = 10⁴ / 10 ;

de même, partant de 10³, on obtient 10² en divisant par 10 : 10² = 10³ / 10 ;

puis 10² donne 10¹ = 10 en divisant par 10 une nouvelle fois : 10¹ = 10² / 10 ; 10¹ = 100 / 10 = 10.

On voit donc tout d’abord que 10¹ = 10.

Que se passe-t-il si nous divisons cette dernière valeur par 10 ? 10¹ / 10 = 10 / 10 = 1. Or dans notre procédé nous avons à chaque opération retranché 1 à la puissance : on est passé de la puissance 4 à la puissance 3, puis de 3 à 2 ... Maintenant, partant de 1, nous obtenons 0 !

On définit donc une nouvelle puissance ainsi :

10⁰ = 1

On peut représenter tout ce qui vient d’être défini sous forme de tableau, le nombre du haut étant la puissance, et celui du bas la valeur de 10 élevé à cette puissance :

Bien sûr, tout ce que nous venons de dire peut se répéter pour d’autres nombres : on définit les puissances d’un nombre quelconque x de la manière suivante :

xⁿ = produit de n termes égaux à x

La dernière étape de notre raisonnement ci-dessus nous a montré qu’on passait de 10¹ = 10 à 10⁰ = 10 / 10 = 1. De même, x¹ = x et donc x⁰ = x / x = 1.

Donc tout nombre à la puissance 0 donne 1.

Les puissances négatives

Et si nous continuions notre procédé ?

Nous nous sommes arrêtés à 10⁰ = 1 ; si nous divisons encore par 10, nous obtenons 1/10 et nous retranchons 1 à la puissance. D’où, naturellement :

10^-1 = 1/10

On continue ?

10^-2 = 1/100

10^-3 = 1/1000

etc.

Maintenant, nous avons défini toutes les puissances entières de 10. Ce que nous avons fait sur cette valeur particulière peut se faire sur tout nombre.

La puissance 2 porte un nom particulier : on l’appelle carré, car c’est elle qui donne la surface d’un carré.

La puissance 3 de même se nomme cube, car elle donne le volume d’un cube.

On s’arrête là, car notre univers ne présente que 3 dimensions (d’espace)... à moins que la théorie des supercordes ne nous en révèle d’autres, mais celles-ci, si elles existent, échappent à nos sens.

On remarque dans ce tableau que pour écrire sous forme de nombre la puissance 10ⁿ, il faut écrire "1" suivi de n zéros. Ainsi 10³ s’écrit "1" suivi de trois "0".

De même, pour écrire 10^-n, il faut écrire "0", suivi de n-1 zéros, suivi de 1. Ainsi 10^-3 s’écrit "0", suivi de deux 0, suivi de 1 (dans les deux cas, il y a n chiffres, soit avant, soit après la virgule).

Calcul des puissances

Le produit de deux puissances peut s’écrire sous une forme simple. Voyons d’abord un exemple :

10⁵ × 10³ = 100.000 × 1.000 = 100.000.000 = 10⁸

Ceci peut se faire plus généralement :

10ⁿ × 10^p = ("1" suivi de n zéro) × ("1" suivi de p zéro) = ("1" suivi de n+p zéro) = 10^n+p

Par conséquent : 10ⁿ × 10^p = 10^n+p

Si l’une des deux puissances est négative, le résultat est le même :

10⁵ × 10-³ = 100.000 × 0,001 = 1.000 = 10³

d’où 10ⁿ × 10^-p = 10^n-p

On pourrait vérifier aussi que le résultat se conserve si les deux puissances sont négatives. Au bout du compte, la formule est vraie pour tout n et p entiers négatifs, positifs ou nuls.

Exemple

Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. La lumière se propage à la vitesse de 300.000 kilomètres par seconde. 300.000 = 3 × 100.000 = 3 10⁵. On peut déjà écrire que la vitesse de la lumière vaut 3 10⁵ kilomètres par seconde.

Transformons maintenant cette valeur dans les unités internationales, c’est-à-dire en mètres par seconde. Un kilomètre vaut 1.000 mètres, c’est-à-dire 10³ mètres. Donc la vitesse de la lumière est de 3 10⁵ fois 10³ mètres par seconde = 3 10⁵ x 10³ mètres par seconde = 3 10⁵⁺³ mètres par seconde = 3 10⁸ mètres par seconde.

Pour connaître l’année-lumière en mètres, il faut multiplier la vitesse par le temps ; calculons ce temps. L’année contient 365 jours de 24 heures, chaque heure est composée de 60 minutes de 60 secondes.

1 heure = 60 × 60 secondes = 3.600 secondes

1 année = 365 × 24 heures = 8.760 heures

d’où : 1 année = 8.760 × 3.600 secondes = 31.536.000 secondes

Une année-lumière vaut 3 10⁸ mètres par seconde × 31.536.000 secondes = 3 10⁸ × 31.536.000 = 3 × 31.536.000 10⁸ = 94.608.000 10⁸ mètres.

Cette valeur est trop précise pour qu’on puisse la retenir. Changeons-la un peu pour la simplifier. 94.608.000 est très proche de 94.000.000, qui est proche de 100.000.000. Maintenant, nous n’avons plus qu’un 1 suivi de 8 zéros. Ce nombre peut donc s’écrire sous forme d’une puissance de 10 :

100.000.000 = 10⁸

L’année-lumière est donc très proche de : 10⁸ × 10⁸ mètres = 10⁸⁺⁸ mètres = 10¹⁶ mètres

Si on l’écrit sous forme de nombre : 10¹⁶ mètres = 10.000.000.000.000.000 mètres, nombre absolument illisible !

Si on veut exprimer l’année-lumière en kilomètres, il suffit d’enlever 3 zéros à ce nombre, donc de retrancher 3 à la puissance de 10 :

1 AL = 10¹³ kilomètres

Préfixes

Pour parler simplement, on définit des préfixes correspondant à des coefficients standards :

hecto = 10² = 100

kilo = 10³ = 1.000

Le pulsar milliseconde tourne sur lui-même en une milliseconde !

Le laser femtoseconde est un laser dont l’impulsion lumineuse dure une femtoseconde, soit un millionième de milliardième de seconde !

Les constantes physiques

Nombre d’Avogadro N = 6,022 10²³ mol^-1

Constante de Boltzmann k_B = 8,617 10^-5 eV K^-1

Constante de Plank h = 4,136 10^-15 eV s

Vitesse de la lumière dans le vide c = 299.792.458 m s^-1     proche de 300.000 km s^-1

Charge élémentaire de l’électron e = 1,602 10^-19 C

Masse de l’électron m_B = 9,109 10^-31 kg

Masse du proton mp = 1,673 10^-27 kg

Masse du neutron mn = 1,675 10^-27 kg

Trigonométrie

La trigonométrie a été inventée il y a très longtemps, pour résoudre les problèmes qui se posent dans un triangle (d’où le nom, du grec tri trois, gonos angle).

Comment mesurer la hauteur d’un immeuble, sans dérouler une corde depuis le toit ? On peut faire un dessin et remarquer que plusieurs immeubles de tailles différentes, mais situés à des distances différentes, sont vus sous la même hauteur apparente. Cette hauteur se matérialise par l’angle α sous lequel on voit l’immeuble.

L’idée de base consiste donc à trouver un immeuble assez bas pour pouvoir le mesurer, et à déterminer la hauteur du grand en faisant une proportion :

hauteurB / hauteurA = distanceB / distanceA

On connait hauteurA, distanceA et distanceB, on en déduit hauteurB = (distanceB / distanceA) × hauteurA.

Pour faire cette mesure, on a utilisé une propriété des triangles semblables : leurs côtés sont dans le même rapport. Deux trinagles sont semblables s’ils ont la même forme, mais sont de dimensions différentes. C’est exactement ce qui se passe si vous faites des photos d’un triangle, avec des réglages de zoom différents. Sur les photos, vous verrez toujours le même triangle, mais avec des tailles différentes.

Etude des rapports

Les rapports de longueurs que l’on peut définir dans les triangles sont donc très importants, et l’idée est vite venue de les étudier et de formaliser les calculs associés. C’est ce que fait la trigonométrie.

Reprenons le rapport précédent, en simplifiant un peu l’écriture :

hauteurB / hauteurA = distanceB / distanceA

réécrit

hB / hA = dB / dA

De chaque côté de l’égalité on voit des grandeurs dépendant des deux immeubles. On peut réécrire le rapport en mettant du même côté le grandeurs qui caractérisent chacun :

hB / dB = hA / dA

Ceci exprime que le rapport hauteur / distance est le même pour tous les triangles semblables. C’est-à-dire pour tous les triangles qui ont les mêmes angles. On va donc caractériser les angles (cette famille de triangles), par le rapport hauteurA / distanceA en particulier.

Triangles particuliers

Les triangles les plus divers sont trop complexes pour être apréhendés facilement. En effet, avec un angle α donné, on peut avoir n’importe quelle valeur pour les deux autres angles :

Ces trois triangles partagent le même angle α (celui auquel on va s’intéresser), et aussi la même base OB = d. Mais les autres côtés sont différents.Celui du milieu est particulier : il est rectangle en B (l’angle B vaut 90°). Pour représenter l’angle α, on peut choisir ce triangle particulier. C’est ce choix qui est la base de la trigonométrie.

En résumé : la trigonométrie est l’étude des rapports dans les triangles, et pour pouvoir les caractériser, on choisit les triangles rectangles comme représentants.

Fonctions trigonométriques

On définit trois fonction de base : le sinus, le cosinus et la tangente. Chacune correspond à un rapport dans un triangle rectangle. Considérez donc le triangle rectangle au centre de la figure.

Nous pouvons déjà trouver une propriété, en divisant le sinus par le cosinus :

sin α / cos α = (AB / OA) / (OB / OA) = (AB / OA) x (OA / OB) = AB / OB

On constate que c’est le rapport qui définit la tangente. Donc :

sin α / cos α = tg α

On voit tout de suite que si l’angle est nul, la hauteur de l’immeuble est nulle aussi. Si l’angle vaut 90°, la tangente (la hauteur) est infinie.

Pour quelle valeur de l’angle la hauteur vaut-elle 1 ? Si on refait un dessin montrant cette situation, on s’aperçoit qu’on a construit un carré, et que le triangle CPS est la moitié du carré. Donc l’angle recherché vaut la moitié d’un angle droit, 45°.

Supposons qu’on ait réussi à calculer les valeurs de cette fonction pour un grand nombre de valeurs de l’angle. Ces valeurs seront notées dans une table sous la forme :

Alors, on peut calculer la hauteur d’un immeuble simplement en mesurant l’angle sous lequel on le voit et sa distance :

hauteur = distance tg α

Cercle trigonométrique

Pour tenir compte de tous les angles possibles, on définit le cercle trigonométrique dans lequel ils vont s’inscrire/ Par définition, le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 (ce qui se justifie puisqu’on ne calcule que des rapports), avec deux axes orientés perpendiculaires :

Donc sur le schéma, OL = OK = 1.

La tangente de l’angle α est notée tan, et sa mesure est la longueur du segment LT.

Sur le cercle trigonométrique, on définit encore deux fonctions, nommées sinus et cosinus. Comme la tangente, ce sont des rapports :

sin α = côté opposé / hypothénuse = CK / OK

cos α = côté adjacent / hypothénuse = OC / OK

Les triangles OCK et OLT étant semblables, LT / CK = OL / OC

LT = tg α ; CK = sin α ; OL = 1 ; OC = cos α

Par substitution il vient immédiatement :

tg α / sin α = 1 / cos α

ce qui s’écrit plus simplement :

tg α = sin α / cos α

Relation fondamentale

Dans le triangle rectangle OCK, on peut écrire le théorème de Pytagore :

OC² + CK² = OK²

par substitution encore il vient :

cos α² + sin α² = 1²

que l’on écrit :

sin α² + cos α² = 1

Etant donné que le cercle trigonométrique a un rayon unité, on voit que le cosinus ne peut pas dépasser 1. Si l’angle croît jusqu’à 90°, le cosinus décroît jusqu’à 0. L’angle dépassant 90°, le cosinus passe de l’autre côté, il est orienté dans l’autre sens, et devient donc négatif. Sa valeur va décroître jusqu’à l’angle de 180°, et atteindra -1. Ensuite, si l’angle augmente toujours, le cosinus remonte de -1 jusqu’à 0 pour α = 270°, et ensuite jusqu’à 1 pour 360°

Rien ne nous empêche d’entamer un deuxième tour, avec un angle croissant toujours au-dessus de 360°. Les valeurs du cosinus seront les mêmes que précédemant. Donc, on a la relation fondamentale :

cos (360° + α) = cos α

On peut d’ailleurs faire autant de tours qu’on veut, et donc pour toute valeur de n :

cos (n 360° + α) = cos α

Une telle fonction est dite périodique, puisque pour des valeurs croissantes de la variable, elle reprend les mêmes valeurs dans le même ordre. La période est de 360°.

Le sinus est symétrique du cosinus.

Tout ce que nous avons vu pour le cosinus peut s’adapter au sinus :

pour α = 0, il vaut 0 ;

pour a = 90°, il vaut +1 ;

pour a = 180°, il vaut 0,

et pour a = 270°, il vaut -1.

Le sinus lui aussi est périodique, de période 360°.

sin (n 360° + α) = sin α

Radians

La plupart du temps, les mathématiciens n’utilisent pas les degrés, mais les radians pour la mesure des angles.

La définition est simple : un tour complet, qui vaut 360°, vaut par définition 2 π radians. D’où la correspondance :

La conversion est facile. Soit à trouver la valeur en radians d’un angle de 23°. On écrit la correspondance :

180° π

23° x

Donc : 180° / 23° = π / x

x = π × 23° / 180° = 0,4014 radians

Dans l’autre sens, la conversion est tout aussi aisée :

180° π

y° 0,4014

Donc : 180° / y° = π / 0,4014

y = 180 × 0,4014 / π = 22,998°

On peut voir une petite difficulté si l’angle n’est pas un nombre entier de degrés. Prenons un exemple encore. Trouver la valeur en radians de l’angle 23° 42' 12"

Nous allons d’abord convertir cette valeur sexagésimale en valeur décimale :

1' 60"

x' 12"

d’où : 1' / x' = 60" / 12"

et x' = (12" / 60") × 1' = 0,2'

Par conséquent, 12" font 0,2'. Et 42' 12" font 42,2'.

L’angle à déterminer est maintenant écrit : 23° 42,2'. Il ne contient plus de secondes. On le traduit en degrés décimaux pareillement :

1° 60'

x° 42,2'

d’où : 1° / x° = 60' / 42,2'

et x° = 42,2' / 60' = 0,7033°

Donc l’angle vaut 23,7033° décimaux.

Maintenant, on peut le convertir en radians comme précédement :

180° π

23,7033° x

Donc : 180° / 23,7033° = π / x

x = π × 23,7033° / 180° = 0,4137 radians

Relations

Il existe de très nombreuses relations entre les trois fonctions trigonométriques que nous avons définies. Ces relations permettent de faire des calculs, en remplaçant par exemple une somme de terme par un produit. Elles sont très utiles.

Voici un tableau qui les réuni :

---=OO=---